题目内容
【题目】已知函数,
.
()若函数
的最小值为
,求
的值.
()证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题(1)由题意得,的最小值问题,需要借助于导数,对比极值与端点值确定,而由最值也可确定出未知量
;(2)借助第一问,将问题转化成最常见的形式:
.
试题解析:(1)的定义域为
,且
.若
,则
,于是
在
上单调递增,故
无最小值,不合题意,若
,则当
时,
;当
时,
.故
在
上单调递减,在
上单调递增.于是当
时,
取得最小值
.由已知得
, 解得
.综上,
.
(2)①下面先证当时,
.因为
, 所以只要证
.由(1)可知
, 于是只要证
,即只要证
, 令
,则
,当
时,
, 所以
在
单调递增,所以当
时,
,即
,故当
时,不等式
成立 .② 当
时,由(1)知
, 于是有
,即
,所以
, 即
,又因为
, 所以
,所以
,综上,不等式
成立.

【题目】即将于年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职,为了了解工资待遇情况,他在贵州省统计局的官网上,查询到
年到
年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值(单位:万元),如下表:
年份 | ||||||||||
序号 | ||||||||||
年平均工资 |
(1)请根据上表的数据,利用线性回归模型拟合思想,求关于
的线性回归方程
(
,
的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位);
(2)如果毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元,请利用(1)的结论,预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资(单位:万元。计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位),并判断
年平均工资能否达到他的期望.
参考数据:,
,
附:对于一组具有线性相关的数据:,
,
,
,
其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
,
【题目】为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,新苗中学数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于
小时的有
人,余下的人中,在高三模拟考试中数学成绩不足
分的占
,统计成绩后,得到如下的
列联表:
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 | 4 | 19 | |
周做题时间不足 | |||
合计 | 45 |
()请完成上面的
列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.
()(i)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于
分和分数不足
分的两组学生中抽取
名学生,设抽到的不足
分且周做题时间不足
小时的人数为
,求
的分布列(概率用组合数算式表示).
(ii)若将频率视为概率,从全校大于等于分的学生中随机抽取
人,求这些人中周做题时间不少于
小时的人数的期望和方差.
附:
【题目】已知某单位全体员工年龄频率分布表为:
年龄(岁) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) | [45,50) | [50,55) | 合计 |
人数(人) | 6 | 18 | 50 | 31 | 19 | 16 | 140 |
经统计,该单位35岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如图所示:
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求该单位男女职工的比例;
(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率.