题目内容
【题目】为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的
名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于
小时的有
人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足
分的占
，统计成绩后，得到如下的
列联表：
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 | 4 | 19 | |
周做题时间不足 | |||
合计 | 45 |
（
）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（
）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于
分和分数不足分的两组学生中抽取
名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为
，求的分布列（概率用组合数算式表示）．
（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取
人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．
附：
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【答案】(1)见解析；(2) （i）见解析 （ii）见解析
【解析】
（1）根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时，且数学分数不足120分的人数，再根据合计数填表。
（2）（i）由分层抽样知大于等于
分的有
人，不足分的有
人，
的可能取值为
，
，
，
，．即可列出分布列。
（ii）根据二项分布的性质即可计算
（）
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 |
|
| 19 |
周做题时间不足 |
|
| 26 |
合计 |
|
| 45 |
∵
．
∴能在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（）（i）由分层抽样知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值为，，，，．
， 
，
， 
， 
．
则分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
（ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取
人，这些人中，周做题时间不少于
小时的人数为随机变量
，
由题意可知
，
故
，
．
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