题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数).
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若,且方程
在
内有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)递增区间为,递减区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用导数求解;(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.
试题解析:
(1)当,所以,
时,
的单调递减区间为
;
时,
的单调递增区间为
,递减区间为
;
时,
的单调递增区间为
,递减区间为
.
(2)由得
.由
得
,设
,则
在
内有零点. 设
为
在
内的一个零点, 则由
、
知
在区间
和
上不可能单调递增,也不可能单调递减,设
,则
在区间
和
上均存在零点, 即
在
上至少有两个零点.
.
当时,
在区间
上递增,
不可能有两个及以上零点;当
时,
在区间
上递减,
不可能有两个及以上零点;
当时,
得
所以
在区间
上递减, 在
上递增,
在区间
上存在最小值
,若
有两个零点, 则有:
.
,设
,则
,令
,得
,当
时,
递增, 当
时,
递减, 恒成立.
由,得
.
当时, 设
的两个零点为
,则
在
递增, 在
递减, 在
递增, 所以
,则
在
内有零点.
综上,实数的取值范围是
.
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