题目内容

【题目】设数列的前项和为,已知.

(1)求数列的通项公式;

(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)由,可得, 两式相减、化简得,得出数列是以首项为,公比为 的等比数列,利用等比数列的通项公式,即可求解.

所以数列的通项公式

(2)由(1)可得,求得,把不等式恒成立,转化为恒成立,令,求得数列的单调性和最大值,即可求解.

(1)由题意,令,解得

,可得

两式相减得,化简得,即

所以数列是以首项为,公比为的等比数列,

所以数列的通项公式

(2)由(1)可得,数列的前n项和为

又由不等式恒成立,整理得恒成立,

,则

时,,所以

时,,所以

又因为, ∴的最大值是,即

所以实数的取值范围是

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