题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆C:
的左、右焦点分别为
,
,P为椭圆C上一点,且
垂直于
轴,连结
并延长交椭圆于另一点
,设
(1)若点的坐标为
,求椭圆
的方程;
(2)若,求椭圆
的离心率的取值范围
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1)由已知可得,将点
代入椭圆方程,联立求得
,
,则椭圆方程可求;(2)由
轴,不妨设
,
,设
,由P在椭圆上,求得
,结合
,利用向量等式求得Q坐标,结合点Q在椭圆上,列式可得
,结合
的范围求椭圆C的离心率的取值范围.
(1)∵垂直于
轴,且点
的坐标为
∴,
,解得
,
∴椭圆C的方程为.
(2)∵轴,不妨设
在
轴上方,
,
,设
∵P在椭圆上,∴.解得
,即
∵,由
得
,
解得,∴
∵点在椭圆上
∴,即
∴,从而
∵,∴
解得
∴椭圆C的离心率的取值范围是.

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