Question

8．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线EF与BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出PA⊥AD，由此利用面面垂直的性质定理能证明PA⊥平面ABCD．
（2）法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD，从而∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．
法二：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．

解答 （本题满分12分）
（1）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD…（1分）
而∠PAD=90°即PA⊥AD，且PA?平面PAD…（2分）
由面面垂直的性质定理得：PA⊥平面ABCD…（4分）
（2）解法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD，
∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．       …（6分）
设PA=2，则AD=DC=CB=BA=2，
$AM=\sqrt{A{B^2}+{{（\frac{1}{2}BC）}^2}}=\sqrt{5}$$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=2\sqrt{2}$…（8分）
Rt△MAE中，$EM=\sqrt{E{A^2}+A{M^2}}=\sqrt{6}$，
同理$EF=\sqrt{6}$，又$FM=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，…（10分）
∴△MFE中，由余弦定理得$cos∠EFM=\frac{{E{F^2}+F{M^2}-M{E^2}}}{2EF•FM}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（12分）
解法二：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB=2，…（6分）
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（1，2，0）…（8分）
∵$\overrightarrow{EF}=（1，2，-1）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，…（10分）
∴$cosβ=\frac{{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{BD}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查两导面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．