Question

16．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=$\sqrt{6}$，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）求异面直线AB和PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出BC⊥平面PAB，由此能证明PA⊥平面PBC．
（2）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角，由此能求出异面直线AB和PC所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（2）解：在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，
连接OC，OD，PD．
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．
∵PA=PB=$\sqrt{6}$，PA⊥PB，∴AB=2$\sqrt{3}$，PO=BO=AO=$\sqrt{3}$．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴PC=$\sqrt{P{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
由已知得底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，cos∠PCD=$\frac{\frac{1}{2}CD}{PC}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴异面直线AB和PC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．