Question

【题目】已知函数f（x）＝x2lnx．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设h（x）＝（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）min＞h（x）max，从而证明结论．

（1）f′（x）＝x（2lnx+1），

令f′（x）＝0，解得：x＝，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

（2）证明：由（1）知当x＝时，f（x）的最小值是﹣，

设h（x）＝﹣（x＞0），则h′（x）＝﹣，

h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，

故h（x）max＝h（2）＝﹣，

∵﹣﹣（﹣）＝＞0，

∴f（x）min＞h（x）max，

故lnx＞﹣．