题目内容
已知抛物线C:y2=4x.
(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.
(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.
由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l: x=－1.
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1).
(2)设Q(x,y),则
|MQ|=
(ⅰ)当m－
≤1,即m≤
时，函数t=[x－(m－)2]+m－
在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.
(ⅱ)当m－＞1,即m＞时，函数t=[x2－(m－)2]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|min=
.
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1).
(2)设Q(x,y),则
|MQ|=
(ⅰ)当m－
≤1,即m≤时，函数t=[x－(m－)2]+m－在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.(ⅱ)当m－
＞1,即m＞时，函数t=[x2－(m－)2]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|min=.
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，
（Ⅱ）如果椭圆上的两点
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满足
．
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.