题目内容
【题目】如图,边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直,分别为的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)在线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)存在,
【解析】
试题分析:(I)由面面垂直的性质定理可直接证得。(Ⅱ)将转化为的中点,利用中位线证∥,再根据线面平行的判定定理即可证MN∥平面CDFE。(Ⅲ)假设存在点P使AP⊥MN,由(I)易得所以。(Ⅲ)由逆向思维可知只需证得,因为,即可证得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
试题解析:(I)因为为正方形,所以。
因为平面,,,所以.
(Ⅱ)连结
因为是的中点,且为矩形,所以也是的中点。因为是的中点,所以∥,因为,所以MN∥平面CDFE。
(Ⅲ)过点作交线段于点,则点即为所求。因为ABCD为正方形,所以∥。因为,所以,因为,所以。因为,且,所以,因为,所以。因为与相似,所以,因为,所以。
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