题目内容
【题目】选修4-1:几何证明选讲
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD、BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.
(1)求证:P=EDF;
(2)求证:CE·EB=EF·EP.
【答案】证明见解析.
【解析】(1)要证明两角P,EDF相等,注意到, ,因此只要证C,EDF相等,这两个角正好是可证相似的两个三角形的对应角,这个相似由已知DE2=EF·EC.可证;(2)要证明线段乘积相等,在已知圆中由相交弦定理有CE·EB=ED·EA,再看ED·EA与EF·EP的相等可由相似三角形得到.
试题分析:
试题解析:证明(1)∵DE2=EF·EC,
∴DE : CE=EF: ED.
∵DEF是公共角,
∴ΔDEF∽ΔCED. ∴EDF=C.
∵CD∥AP, ∴C= P.
∴P=EDF.----5分
(2)∵P=EDF, DEF=PEA,
∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE : PE="EF" : EA.即EF·EP=DE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E,∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP. 10分
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