Question

【题目】已知函数

（1）当a=1时,求函数f（x）在[1,e]上的最小值和最大值;

（2）当a≤0时,讨论函数f（x）的单调性;

（3）是否存在实数a,对任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）最小值为f（2）=-2ln2，最大值为；（2）①当时，f（x）在（0，-a）上是增函数，在（-a,2）上是减函数，在上是增函数；②当a=-2时，在上是增函数； 时， 则f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，-a）上是减函数，在上是增函数；（3）．

【解析】试题分析：（1），可求得，由确定增区间， 确定减区间，求出极值，并与比较得最大值和最小值；（2）求出函数定义域为，求出导数，分类， ， ，然后可分别确定单调区间；（3）这是探究性命题，可假设存在实数a, 对任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立，不妨设，不等式可变为，此不等式成立，只要函数为增函数即能满足．

试题解析：（1）当a=1时， .

则.

∴当时， 当时，

∴f（x）在（1,2）上是减函数，在（2，e）上是增函数．

∴当x=2时，f（x）取得最小值，其最小值为f（2）=-2ln2.

又,

, ∴

∴. …………4分

（2） f（x）的定义域为，

．

①当时，

f（x）在（0，-a）上是增函数，在（-a,2）上是减函数，在上是增函数．

②当a=-2时，在上是增函数．

③时， 则f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，-a）上是减函数，

在上是增函数．

（3） 假设存在实数a, 对任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立

不妨设, 若，即.

令g（x）=f（x）-ax= -ax=.

只要g（x）在（0,+∞）为增函数

要使在（0,+∞）恒成立，只需-1-2a≥0， .

故存在满足题意．