Question

【题目】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，﹣1）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标；

（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，满足，求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）直接根据定义先求得a，进而得到b即可；

（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），根据椭圆方程以及面积可得x0y1，将其与联立得到N坐标；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，结合韦达定理得，因为且P在椭圆上可得4t2＝m2+2，表示出三角形面积结合基本不等式即可求其最小值.

解：（1）∵椭圆上的点（1，）的下辅助点为（1，﹣1），

∴辅助圆的半径为R，椭圆长半轴为a＝R，

将点（1，）代入椭圆方程中，解得b＝1，

∴椭圆E的方程为；

（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，

x02+y02＝2，，故y02＝2y12，即y0y1，

又S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1，

将x0y1与联立可解得或，

∴下辅助点N的坐标为（，）或（，）；

（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，则△＝8（m2+2﹣t2）＞0.

根据韦达定理得，

因为.

所以，

因为点P在椭圆E上，

所以，

整理得，

即4t2＝m2+2，

在直线l：x﹣my﹣t＝0中，

由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0.

令x＝0，得，令y＝0，得x＝t.

所以三角形面积为,

当且仅当m2＝2，t2＝1时，取等号，此时△＝24＞0.

所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.