Question

【题目】有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为.

（1）求，，的值；

（2）求证：，其中，；

（3）求及的值.

Answer 1

【答案】（1）...（2）见解析；（3），.

【解析】

(1)分析投掷硬币的情况，再分别计算即可.

(2)根据棋子跳到第站情况有且仅有①棋子先到第站，又掷出反面，②棋子先到第站，又掷出正面，两种情况，再求出递推公式再化简证明即可.

(3)根据(2)可知数列是首项为，公比为的等比数列得到，再累加求和求出即可求解及.

（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；

②第一次掷硬币出现反面，其概率为.

∴.

（2）证明：棋子跳到第n（）站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；

②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.

∴.

∴.

（3）由（2）知，当时，数列是首项为，公比为的等比数列.

∴，，

，…，.

以上各式相加，得，

∴.

∴，

.