题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅱ)恒成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)先求导,对分类讨论,求出单调区间,结合零点存在性定理,即可求出结论;
(Ⅱ)分离参数转化为满足在
上恒成立时,
的取值范围,设
,通过求导求出
,即可求解.
(Ⅰ)由已知得x>0,.
①当a≥0时,,此时f(x)是增函数,故不存在两个零点;
②当a<0时,由,得
,
此时 时,
,此时
是增函数;
当 时,
,此时
是减函数,
所以时,f(x)取得极大值,由f(x)有两个零点,
所以,解得
.
又,所以f(x)在(0,
)有唯一零点.
再取,
则.
所以f(x)在有唯一实数根,
所以a的取值范围是.
(Ⅱ)恒成立,即
在
上恒成立,
即在
上恒成立.
令,则
.
令,则
0.
所以在
上递增,而
,
故存在使得
,即
.
∴.
令,
,
所以在
上递增,∴
.
而时,
,即
,
所以在
上递减;
时,
,即
,
故在
上递增.
所以时,
取得极小值,也是最小值,
,∴a≤1.
所以a的取值范围是.
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【题目】当今世界科技迅猛发展,信息日新月异.为增强全民科技意识,提高公众科学素养,某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动,并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名,数据统计如表:
借阅科技类图书(人) | 借阅非科技类图书(人) | |
年龄不超过50岁 | 20 | 25 |
年龄大于50岁 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?
(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书,规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分,每借阅一本非科技类图书奖励积分1分,积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.
(i)现有3名借阅者每人借阅一本图书,记此3人增加的积分总和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人,则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |