Question

14．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{4030}{4031}$
• B． $\frac{2014}{4029}$
• C． $\frac{2015}{4031}$
• D． $\frac{4030}{4031}$

Answer 1

分析 函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，可得f′（x）|_x=1=（2ax）|_x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x²-1，$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴f′（x）|_x=1=（2ax）|_x=1=2a=8，
解得a=4．
∴f（x）=4x²-1，
f（n）=4n²-1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
则S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4031}$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．