题目内容
如图，已知椭圆C：
，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有
成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若
，求实数k的取值范围．
，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有
成立？若存在，求出所有k的值；（2）若
，求实数k的取值范围．（1）k＝±1（2）
（1）椭圆C：
1分
直线AB：y＝k（x－m）, 2分
，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0． 3分
设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝
，x1x2＝
4分
则xm＝
5分
若存在k,使
为ON的中点，∴
．
∴
，
即N点坐标为
． 6分
由N点在椭圆上，则
7分
即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－
（舍）．
故存在k＝±1使
8分
（2）
＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）
＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2
＝（1＋k2）·
10分
由
得
12分
即k2－15≤－20k2－12,k2≤
且k≠0． 14分
1分直线AB：y＝k（x－m）, 2分
，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0． 3分设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝
，x1x2＝ 4分则xm＝
5分若存在k,使
为ON的中点，∴．∴
，即N点坐标为
． 6分由N点在椭圆上，则
7分即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－
（舍）．故存在k＝±1使
8分（2）
＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2
＝（1＋k2）·
10分由
得 12分即k2－15≤－20k2－12,k2≤
且k≠0． 14分
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的椭圆的中心的轨迹方程
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作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．
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，求椭圆的方程．
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的离心率为
=
,点
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两焦点的距离之和为4.
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围.
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是椭圆
上的一点，
是椭圆的左焦点，且
，
则点
.又AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为
,求椭圆的方程.
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 ．