题目内容
【题目】如图,在直四棱柱中,底面
为等腰梯形,
.
(1)证明:;
(2)设是线段
上的动点,是否存在这样的点
,使得二面角
的余弦值为
,如果存在,求出
的长;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)长为1.
【解析】试题分析:(1)连结,
,则由余弦定理可知
,根据直棱柱
的性质,先由面面垂直证明线面垂直,再得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理可得到
平面
,进而可得结果;(2)以
为原点,以
方向为
轴,以
方向为
轴,以
方向为
轴,建立坐标系,分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式列方程,从而可得结果.
试题解析:(1)连结,
,则由余弦定理可知
,
由直棱柱可知,
(2)以为原点,以
方向为
轴,以
方向为
轴,以
方向为
轴,建立坐标系.
(
),
,
,
,
,
,
,
,又
,则
,故
长为1.
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