题目内容
【题目】如图，在直四棱柱
中，底面
为等腰梯形，
.
（1）证明：
；
（2）设
是线段
上的动点，是否存在这样的点，使得二面角
的余弦值为
，如果存在，求出
的长；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）
长为1.
【解析】试题分析：（1）连结
，
，则由余弦定理可知
，根据直棱柱
的性质，先由面面垂直证明线面垂直，再得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理可得到
平面
，进而可得结果；（2）以
为原点，以
方向为
轴，以
方向为
轴，以
方向为
轴，建立坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
与平面
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式列方程，从而可得结果.
试题解析：（1）连结，，则由余弦定理可知，
由直棱柱可知，
（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立坐标系.
（
），
，
，
，
，
，，
，又，则
，故长为1.
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