题目内容

【题目】如图，过椭圆： 的左右焦点分别作直线， 交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 为定值；

（2）求四边形面积的最大值.

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析: (1)设 ,分别将坐标代入椭圆中,得出两等式,相减得出 ,写出的表达式,化简得出结果; (2)设直线 的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求出 ,算出的表达式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四边形面积的最大值.

试题解析: （1）设, ,根据对称性，有，因为, 都在椭圆上，所以， ，二式相减得， ，所以为定值.

（2）当的倾斜角为时， 与重合，舍去.

当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形， ，设直线的方程为，代入，得.显然， ， .

所以

设，所以， .所以.

当且仅当即时等号成立，所以.

所以平行四边形面积的最大值为.

点睛: 本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.解题技巧: 在(1)中,采用设而不求;在(2)中, 设直线 的方程比 好,因为联立直线与椭圆方程计算量减少,还有,由韦达定理可求出.在求三角形面积最大值时,将 看成一个整体,利用基本不等式求出最大值.

练习册系列答案
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【题目】下列命题：
·（1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期为π；
·（2）函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
·（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3个零点；
·（4）若 ∥ ， ，则
其中错误的是 ．

【题目】设函数 ． （I）求 的值；
（II）若f（a）＞f（﹣a），求实数a的取值范围．

【题目】某校计划面向高一年级名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有人.在这名学生中选择社会科学类的男生、女生均为人.

（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；

（Ⅱ）根据抽取的名学生的调查结果，完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为科类的选择与性别有关？

选择自然科学类

选择社会科学类

合计

男生

女生

合计

附： ，其中.

【题目】面对全球范围内日益严峻的能源形势与环保压力，环保与低碳成为今后汽车发展的一大趋势，越来越多的消费者对新能源汽车表示出更多的关注，某研究机构从汽车市场上随机抽取N辆纯电动汽车调查其续航里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续航里程全部介于100公里和450公里之间，根据调查数据形成了如图所示频率分布表及频率分布直方图．

频率分布表

分组

频数

频率

[100，150）

1

0.05

[150，200）

3

0.15

[200，250）

x

0.1

[250，300）

6

0.3

[300，350）

4

0.2

[350，400）

3

y

[400，450]

1

0.05

合计

N

1

（1）试确定频率分布表中x，y，N的值，并补全频率分布直方图；

（2）若从续航里程在[200，250）及[350，400）的车辆中随机抽取2辆车，求两辆车续航里程都在[350，400）的概率．

【题目】已知函数f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，

g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

【题目】已知椭圆：的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于不同两点，（都在轴上方），且.

（ⅰ）若点的横坐标为1，求的面积；

（ⅱ）直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【题目】选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设l与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．

【题目】定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数 ，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数 在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

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