题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知椭圆的左焦点为,直线
与椭圆
交于不同两点
,
(
都在
轴上方),且
.
(ⅰ)若点的横坐标为1,求
的面积;
(ⅱ)直线是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率,可得
.
所以,所以
.
又因为点在椭圆上,
所以,即
.
解得,故
.
∴椭圆的方程为
. -----------------4分
(Ⅱ)椭圆的左焦点为.
(ⅰ)当时,点
的坐标为
.
直线的斜率
,所以
.
直线的方程为
,即
.
而.
点到直线
的距离
.
所以面积
. ----------------- 8分
(ⅱ)设直线方程为
,
,
.
联立方程组,
消得,
-----------------10分
由根与系数的关系可得,
.
所以
所以
即
代入整理,
整理得. -----------------13分
所以直线的方程为
,
所以直线总过定点
. -----------------14分
【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质、直线和椭圆的位置关系、三角形面积的求解以及定点的探究性问题,意在考查基本的逻辑推理能力、运算能力和数学应用意识等.
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