题目内容
【题目】定义:若函数y=f(x)在某一区间D上任取两个实数x1、x2 , 且x1≠x2 , 都有 ,则称函数y=f(x)在区间D上具有性质L.
(1)写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数(不要求证明).
(2)对于函数 ,判断其在区间(0,+∞)上是否具有性质L?并用所给定义证明你的结论.
(3)若函数 在区间(0,1)上具有性质L,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解: (或其它底在(0,1)上的对数函数)
(2)解:函数 在区间(0,+∞)上具有性质L.
证明:任取x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
则 =
=
∵x1、x2∈(0,+∞)且x1≠x2,
∴(x1﹣x2)2>0,2x1x2(x1+x2)>0
即 >0,
∴
所以函数 在区间(0,+∞)上具有性质L
(3)解:任取x1、x2∈(0,1),且x1≠x2
则 =
=
=
∵x1、x2∈(0,1)且x1≠x2,
∴(x1﹣x2)2>0,4x1x2(x1+x2)>0
要使上式大于零,必须2﹣ax1x2(x1+x2)>0在x1、x2∈(0,1)上恒成立,
即 ,
∴a≤1,
即实数a的取值范围为(﹣∞,1]
【解析】(1)写出的函数是下凹的函数即可;(2)函数 在区间(0,+∞)上具有性质L.根据定义,任取x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
只需要证明 >0即可;(3)任取x1、x2∈(0,1),且x1≠x2则
>0,只需要2﹣ax1x2(x1+x2)>0在x1、x2∈(0,1)上恒成立,即
,故可求实数a的取值范围.
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