题目内容
18．已知点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F1F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）| A． | （0，$\frac{1}{3}$] | B． | （$\frac{1}{3}$，1） | C． | （0，$\frac{1}{3}$） | D． | [$\frac{1}{3}$，1） |
分析 由椭圆的第二定义结合|PF1|=2|PF2|，可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），解得x=$\frac{a}{3e}$，由题意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．
解答 解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），
∴x=$\frac{a}{3e}$，由题意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1），
故选：D．
点评 本题考查椭圆的第二定义，考查椭圆的简单性质的应用，灵活运用椭圆第二定义是解答该题的关键，是中档题．
练习册系列答案
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10．
变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为（ ）
变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为（ ）| A． | 1 | B． | -0.5 | C． | 0 | D． | 0.5 |
9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e2为（ ）
| A． | $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{3+\sqrt{5}}}{8}$ | C． | $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$ | D． | $\frac{{1+\sqrt{5}}}{8}$ |
6．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，双曲线C2的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，C1与C2的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则C2的渐近线方程为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$x±y=0 | B． | x±$\sqrt{2}$y=0 | C． | 2x±y=0 | D． | x±2y=0 |
13．已知A为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一个动点，直线AB，AC分别过焦点，F1，F2，且与椭圆交于B，C两点，若当AC⊥x轴时，恰好有|AF1|：|AF2|=3：1，则该椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
7．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |