Question

已知是圆上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作轴的垂线段，交椭圆于点，动点P满足.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设和分别表示和的面积，当点P在轴的上方，点A在轴的下方时，求+的最大值。

Answer 1

（1）
（2）的最大值是2

解：（1）设，，,则，              
从而,,由于,所以=0，进而
根据，可得点是线段AP的中22点，所以有，由以上各式得：
所以动点P的轨迹方程为
（2）根据（1）得直线AB的直线方程为：，从而点P到直线AB的距离为
，又|AB|=，所以
而，
所以=
又有=，当且仅当时取等号。所以=，即的最大值是2