题目内容
【题目】如图，
、
是两个小区所在地，、到一条公路
的垂直距离分别为
，
，两端之间的距离为
.
（1）某移动公司将在之间找一点
，在处建造一个信号塔，使得对
、的张角与对
、的张角相等，试确定点的位置.
（2）环保部门将在之间找一点
，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.
【答案】(1)
；（2）
．
【解析】
试题（1）设
，我们只要利用已知
列出关于
的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，
，
，因此有
，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，
，则
，由引开出方程解出；（2）要使得
最大，可通过求
，因为
，只要设
，则
都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得
，这里我们用换元法求最值，令
，则有
，注意到
，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，
取最大值.
（1）设
，
，
.
依题意有
，
. 3分
由
，得
，解得
，故点
应选在距
点2
处. 6分
（2）设，
，
.
依题意有，，
10分
令，由
，得，
，
12分
，
，
当
，所张的角为钝角，最大角当
，即
时取得，故点
应选在距点
处. 14分
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