题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,过原点
且斜率为1的直线
交椭圆
于
两点,四边形
的周长与面积分别为8与
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆
于
两点,且
,求证:
到直线
的距离为定值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到,再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.
试题解析:(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点,依题可得
.
∵.
∵.
∵点在椭圆
上,
,解得
,或
(舍),
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率存在时,设直线
的方程为
,
由消去
得
,
设则
,
∵,
即,即
,
到直线
的距离为
.
当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
.
由椭圆的对称性易知到直线
的距离为
.
到直线
的距离为定值.
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