Question

13．各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}≤1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，{a}_{n＞1}}\end{array}\right.$，若存在三个不同的首项a₁，使得a₃=m，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 分类讨论：当${a}_{1}≤\frac{1}{2}$时，a₂=2a₁≤1，可得a₃=4a₁=m，解得m范围．同理当$\frac{1}{2}＜{a}_{1}≤1$时，得a₁=$\frac{1}{2m}$，解得m范围．当a₁＞1时，解得a₁=$\frac{2}{m}$，解得m范围．由于存在三个不同的首项a₁，使得a₃=m，求其交集即可．

解答 解：当${a}_{1}≤\frac{1}{2}$时，a₂=2a₁≤1，∴a₃=2a₂=4a₁=m，得${a}_{1}=\frac{m}{4}$$≤\frac{1}{2}$，解得m≤2．
当$\frac{1}{2}＜{a}_{1}≤1$时，a₂=2a₁＞1，a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2{a}_{1}}$=m，解得a₁=$\frac{1}{2m}$，∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2m}≤1$，解得$\frac{1}{2}≤m＜1$．
当a₁＞1时，${a}_{2}=\frac{1}{{a}_{1}}$＜1，∴a₃=2a₂=$\frac{2}{{a}_{1}}$=m，解得a₁=$\frac{2}{m}$，∴$\frac{2}{m}$＞1，解得m＜2．
∵存在三个不同的首项a₁，使得a₃=m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{\frac{1}{2}≤m＜1}\\{m＜2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤m＜1$．
∴实数m的取值范围是$[\frac{1}{2}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．