Question

1．已知f（x）为R上的奇函数，且x＞0时f（x）=-x²+（a+2）x-a²+5（其中a为实常数）．
（1）求f（0）的值；
（2）求x＜0时f（x）的解析式；
（3）若f（x）在区间（0，2]上的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性直接求出结果．
（2）利用函数是奇函数的性质求解函数的解析式即可．
（3）通过函数的对称轴以及函数的解析式通过最值求解a的值即可．

解答 解：（1）∵f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．（2分）
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+（a+2）•（-x）-a²+5]=x²+（a+2）x+a²-5（5分）
（3）x∈（0，2]时，f（x）=-x²+（a+2）x-a²+5，显然对称轴$x=\frac{a+2}{2}＞0$（7分）
①当$0＜\frac{a+2}{2}＜2$即-2＜a＜2时，则$x=\frac{a+2}{2}$时取得最大值，则$\frac{{-4（-{a^2}+5）-{{（a+2）}^2}}}{-4}=2$，解得$a=\frac{{2-2\sqrt{13}}}{3}$（$a=\frac{{2+2\sqrt{13}}}{3}＞2$舍去）（9分）
②当$\frac{a+2}{2}≥2$即a≥2时，则x=2时取得最大值，则-2²+2（a+2）-a²+5=2，解得a=3（a=-1＜2舍去）          （11分）
综上知$a=\frac{{2-2\sqrt{13}}}{3}$或a=3．（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式以及二次函数闭区间上的最值问题的求法，考查计算能力．