题目内容
【题目】已知是抛物线
上一点,
到直线
的距离为
,
到
的准线的距离为
,且
的最小值为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)直线交
于点
,直线
交
于点
,线段
的中点分别为
,若
,直线
的斜率为
,求证:直线
恒过定点.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 的最小值等价于点
到直线
的距离, ∴
,解得
,从而可得结果;(Ⅱ)设
,由
可得
,由中点坐标公式以及斜率公式可得
的斜率
,直线
的方程
可化为
,从而可得结果.
试题解析:(Ⅰ)抛物线的焦点为
,由抛物线的定义可得
,
则,其最小值为点
到直线
的距离, ∴
,解得
(舍去负值),
∴抛物线的方程为
.
(Ⅱ)设,由
可得
, 则
,所以
∴
的中点
的坐标为
,
同理可得点的坐标为
,则直线
的斜率
,则
,
则直线的方程
可化为
,即
,令
可得
,∴直线
恒过定点
.
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