题目内容
【题目】
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）利用长方体的性质，可以知道
侧面
，利用线面垂直的性质可以证明出
，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出
平面
；
（2）以点
坐标原点，以
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方形
的边长为
，
，求出相应点的坐标，利用
，可以求出
之间的关系，分别求出平面
、平面
的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角
的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.
证明（1）因为
是长方体，所以侧面，而
平面，所以
又，
，
平面，因此平面；
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为，所以
，
所以
，
，
设
是平面
的法向量，
所以
，
设
是平面的法向量，
所以
，
二面角的余弦值的绝对值为
，
所以二面角的正弦值为
.
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小学生10分钟应用题系列答案
【题目】某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，
）的函数解析式
；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望。
【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 | [85，90） | [90，95） | [95，100） | [100，105） | [105，110） |
甲机床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙机床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元，假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.
【题目】某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加
现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
维护费 |
|
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Ⅰ
求y关于t的线性回归方程；
Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．
参考公式：
，
