Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+b，且函数的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，f（x）的最大值为1
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的性质求出ω和b，即可求函数f（x）的解析式
（2）分别求出f（x）-3和f（x）+3的取值范围，结合恒成立问题即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$，即周期T=π，即|$\frac{2π}{2ω}$|=π，解得ω=1或ω=-1，
若ω=1，则f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+b，
当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，时，函数f（x）取得最大值为f（x）=$\sqrt{3}×sin\frac{π}{3}$+b=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+b=$\frac{3}{2}$+b=1，
即b=-$\frac{1}{2}$，此时$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{3}}）-\frac{1}{2}$；
若ω=-1，则f（x）=$\sqrt{3}$sin（-2x-$\frac{π}{3}$）+b，
当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，-2x-$\frac{π}{3}$∈[-π，-$\frac{π}{3}$]，
∴当-2x-$\frac{π}{3}$=0时，函数f（x）取得最大值为f（x）=0+b=1，
即b=1，此时$f（x）=\sqrt{3}sin（{-2x-\frac{π}{3}}）+1$，
综上$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{3}}）-\frac{1}{2}$或$f（x）=\sqrt{3}sin（{-2x-\frac{π}{3}}）+1$．
（2）若$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{3}}）-\frac{1}{2}$，
由（1）知，函数f（x）的最大值为1，最小值为f（x）=-$\sqrt{3}×sin\frac{π}{3}$+1=-$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=-2，
即-2≤f（x）≤1，
则-5≤f（x）-3≤-2，1≤f（x）+3≤4，
∵f（x）-3≤m≤f（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，
∴-2≤m≤1；
若$f（x）=\sqrt{3}sin（{-2x-\frac{π}{3}}）+1$．
由（1）知，函数f（x）的最大值为1，最小值为f（x）=$\sqrt{3}×$（-1）+1=1-$\sqrt{3}$，
即1-$\sqrt{3}$≤f（x）≤1，
则-2-$\sqrt{3}$≤f（x）-3≤-2，4-$\sqrt{3}$≤f（x）+3≤4，
∵f（x）-3≤m≤f（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，
∴-2≤m≤4-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数性质的应用，注意要对ω进行分类讨论．