Question

8．已知：n∈N^*，$\overrightarrow{c}$=（1，1），向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$和$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$满足：$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$+$\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-7）．
（1）试求向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$的模的最小值；
（2）是否存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{{a}_{n}}-\overrightarrow{{a}_{n-1}}=\overrightarrow{c}$，利用等差数列的通项公式、向量模的计算公式即可得出；
（2）假设存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．则$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$=0，化为nm-4（n+m）+32=0，变形为：n=4-$\frac{16}{m-4}$，对m讨论即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{a}_{n}}-\overrightarrow{{a}_{n-1}}=\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrow{c}$=（1，-7）+（n-1）（1，1）=（n，n-8）．
∴$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\sqrt{{n}^{2}+（n-8）^{2}}$=$\sqrt{2（n-4）^{2}+32}$$≥\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，
因此当n=4时，$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$取得最小值4$\sqrt{2}$．
（2）设存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．
则$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$=（n，n-8）（m，m-8）=nm+（n-8）（m-8）=0，
化为nm-4（n+m）+32=0，
∴n=4-$\frac{16}{m-4}$，
当m=2时，n=12；当m=3时，n=20；当m=12时，n=2；当m=20时，n=3．
∴存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．
分别为$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=12}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=20}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=12}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=20}\\{n=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．