Question

19．已知α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且α+β＜0，若sinα=1-m，sinβ=1-m²，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （-2，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$]
• D． （-$\sqrt{2}$，1）

Answer 1

分析 先根据正弦函数的性质和α，β的范围，求得关于m的方程组求得m的范围，进而利用两角和公式根据α+β＜0进而判断出m的另一范围，最后综合求得m的范围．

解答 解：由sinα=1-m可以得到：-1≤sinα=1-m≤1，即0≤m≤2…①
由sinβ=1-m²可以得到：-1≤1-m²≤1，即-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$…②
由①②得到：0≤m≤$\sqrt{2}$，
又∵α+β＜0，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（1-m）cosβ+（1-m²）cosα＜0
（1-m）（cosβ+cosα+mcosα）＜0
∵cosα+cosβ+mcosα＞0，
∴1-m＜0，即m＞1，
所以m的范围为：（1，$\sqrt{2}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的最值，三角函数与不等式的综合应用．考查了考生分析问题和解决问题的能力．