题目内容
17．已知二项式（${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第三项；
（2）求二项式系数最大的项
（3）求二项展开式的二项式系数和以及其所有项的系数和．
分析 （1）由条件求得n=8，利用通项公式可得展开式的第三项．
（2）根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．
（3）根据二项展开式的二项式系数和为2n 得出结论，令x=1，可得其所有项的系数和．
解答 解：（1）二项式（${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，
可得2${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，求得n=1（舍去），或 n=8，
故展开式的第三项为T3=${C}_{8}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${x}^{\frac{4}{3}}$=7${x}^{\frac{4}{3}}$．
（2）第r+1项的二项式系数为 Tr+1=${C}_{8}^{r}$，故第5项的二项式系数最大，此时，r=4．
（3）二项展开式的二项式系数和为28=256，令x=1，可得其所有项的系数和${（\frac{1}{2}）}^{8}$=$\frac{1}{256}$．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
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