题目内容
【题目】对于曲线,若存在非负实常数
和
,使得曲线
上任意一点
有
成立(其中
为坐标原点),则称曲线
为既有外界又有内界的曲线,简称“有界曲线”,并将最小的外界
成为曲线
的外确界,最大的内界
成为曲线
的内确界.
(1)曲线与曲线
是否为“有界曲线”?若是,求出其外确界与内确界;若不是,请说明理由;
(2)已知曲线上任意一点
到定点
,
的距离之积为常数
,求曲线
的外确界与内确界.
【答案】(1)曲线不是“有界曲线”,理由见解析;曲线
是“有界曲线”,其外确界为3,内确界为1;(2)当
时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
;当
时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
.
【解析】
(1)由外确界与内确界的概念,结合曲线方程,数形结合得答案;
(2)由题意求出曲线的方程,进一步得到
的范围
,把
转化为含有
的代数式,分类讨论得答案.
(1)的图象为开口向右的抛物线,抛物线上的点到原点的距离的最小值为
,无最大值,
∴曲线不是“有界曲线”;
∵曲线的轨迹为以
为圆心,以
为半径的圆,如图:
由图可知曲线上的点到原点距离的最小值为
,最大值为
,则曲线
是“有界曲线”,其外确界为
,内确界为
;
(2)由已知得:,
整理得:,
∴,
∵,∴
,∴
,
∴,∴
,
则,
∵,
∴,
即,
当时,
,则
,
∴,则曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,
,则
,
∴,则曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,
,则
,
∴,则曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,
,则
,
∴,则曲线
的外确界与内确界分别为
,
.
综上,当时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
;
当时,曲线
的外确界与内确界分别为
,
.
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