题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,曲线
总在曲线
的下方,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 当时,函数
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;(2)
.
【解析】试题分析:(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;;(2)原命题等价于不等式
在
上恒成立,即
,不等式
恒成立,可化为
恒成立,只需
大于
的最大值即可.
试题解析:(1)由可得
的定义域为
,且
,
若,则
,函数
在
上单调递增;
若,则当
时,
,
在
上单调递增,
当时,
,
在
上单调递减.
综上,当时,函数
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)原命题等价于不等式在
上恒成立,
即,不等式
恒成立.
∵当时,
,∴
,
即证当时,
大于
的最大值.
又∵当时,
,∴
,
综上所述,.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
即可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得
的范围.
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练习册系列答案
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【题目】省环保厅对、
、
三个城市同时进行了多天的空气质量监测,测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个,三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示:
|
|
| |
优(个) | 28 | ||
良(个) | 32 | 30 |
已知在这180个数据中随机抽取一个,恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
(1)现按城市用分层抽样的方法,从上述180个数据中抽取30个进行后续分析,求在城中应抽取的数据的个数;
(2)已知,
,求在
城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.