Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义得出即$\frac{{e}^{-x}+b}{a{e}^{-x}+1}$=-$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$，化简得出$\frac{b{e}^{x}+1}{{e}^{x}+a}$=-$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$，即可求解a，b
（2）根据解析式得出e^x=$\frac{y-1}{y+1}$＞0，求解不等式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$是定义在R上的奇函数．
∴f（0）=0，
即f（0）=$\frac{1+b}{a+1}$=0，∴b=-1，
又f（-x）=-f（x），即$\frac{{e}^{-x}+b}{a{e}^{-x}+1}$=-$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$，化简得出$\frac{b{e}^{x}+1}{{e}^{x}+a}$=-$\frac{{e}^{x}+b}{a{e}^{x}+1}$，
∵b=-1，∴a=1，
（2）f（x）=$\frac{1+{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$，
∵y=$\frac{1+{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$，∴e^x=$\frac{y-1}{y+1}$＞0，
y＞1或y＜-1
∴函数f（x）的值域：（1，+∞）∪（-∞，-1）

点评 本题综合考查了函数的性质，运用求解值域问题，考查了学生的分析问题，运算能力，属于中档题．