题目内容
【题目】已知圆具有以下性质:设A,B是圆C:上关于原点对称的两点,点P是圆上的任意一点.若直线PA,PB的斜率都存在并分别记为
,
,则
=﹣1,是与点P的位置无关的定值.
(1)试类比圆的上述性质,写出椭圆的一个类似性质,并加以证明;
(2)如图,若椭圆M的标准方程为,点P在椭圆M上且位于第一象限,点A,B分别为椭圆长轴的两个端点,过点A,B分别作
⊥PA,
⊥PB,直线
,
交于点C,直线
与椭圆M的另一交点为Q,且
,求
的取值范围(可直接使用(1)中证明的结论).
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)设点,则点
,由
,由椭圆方程带入化简可得解;
(2)设AP的斜率为k,,结合(1)中的结论可得直线AC、BC和BQ的方程,联立直线方程可得
和
,由
,结合
可得解.
(1)性质:设A,B是椭圆上关于原点对称的两点,点
是椭圆上的任意一点.若直线
,
的斜率都存在并分别记为
,
,则
是与点
的位置无关的定值.
证明:设点,则点
,从而
.设点
则
,
则,
故是与点P的位置无关的定值.
(2)设AP的斜率为k,,因为P为椭圆M上第一象限内一点,所以
由(1)结论可知
,所以BP的斜率为
.
因为,所以
,则AC的方程为
因为,所以
,则BC的方程为
.
由,得
,即
设,因为
,
且直线的斜率
,所以
的斜率为
,则
的方程为
联立方程,得
,即
则
因为,所以
.
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