Question

【题目】已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求；

（3）设，问：是否存在非零整数，使数列为递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）存在，

【解析】

（1）根据题干中的等式即可求解数列的通项公式；

（2）先根据数列的通项公式求出，再根据的特点利用错位相减法求和即可；

（3）先求出，再分为奇数和为偶数两种情况求解即可．

（1）由题意，数列满足……①，

所以当时，…… ②，

由①-②，可得，可得，

当时，，所以，也满足上式，

所以．

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减得，，

所以．

（3）由（1）知，，要使数列为递增数列，

则恒成立，

即恒成立，

整理得恒成立，所以恒成立．

当为奇数时，恒成立，所以；

当为偶数时，恒成立，所以．

综上可得，

又因为为非零整数，所以，

即存在，使数列为递增数列．