题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,平面
平面PAD,E是
的中点,F是DC上一点,G是PC上一点,且
,
.
(1)求证:平面平面PAB;
(2)若,
,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)从线面垂直的证明入手,证明平面PAB,从而证得平面
平面PAB;(2)添加辅助线,找到直线PB与平面ABCD所成的角,再在直角三角形中求其正弦值,也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量法进行求解.
(1)如图,取的中点M,连接MD,ME,
则,
.
又,
,所以
,
,
所以四边形MDFE是平行四边形,所以.
因为,所以
.
因为平面平面PAD,平面
平面
,
,所以
平面PAD.
因为平面PAD,所以
.
因为,所以
平面PAB,
所以平面PAB.
又平面EFG,所以平面
平面PAB.
(2)解法—:过点P作于点H,则
平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
在等腰三角形PAD中,,
,因为
,所以
,解得
,则
,
所以,
,所以
.
易知平面ABCD的一个法向量为,
所以,
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
解法二:由(1)可知平面PAD,
因为平面PAD,所以
.
在直角三角形PAB中,由勾股定理可得.
过点P作于点H,则
平面ABCD,连接HB,则
是直线PB与平面ABCD所成的角.
在等腰三角形PAD中,,
,
因为,所以
,解得
,在直角三角形PHB中,
.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
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