题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面
,
分别为
的中点,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求三棱锥与四棱锥
的体积之比.
【答案】(1)(2)证明过程详见解析;(3)1:4
【解析】试题分析:(1)欲证平面平面
,根据面面垂直的判定定理可知在平面
内一直线与平面
垂直,而根据线面垂直的判定定理可知
平面
平面
,满足定理条件;(2)证明
,利用线面平行的判定定理,即可证明
平面
;(3)不妨设
,求出
,得到
,求出PD,根据
面
,所以
即为点
到平面
的距离,根据三棱锥的体积公式求出体积得到
的比值.
试题解析:
(1)证明:∵分别为
的中点,
∴,
又∵四边形是正方形,
∴,∴
,
∵在平面
外,
在平面
内,
∴平面
,
平面
,
又∵都在平面
内且相交,
∴平面平面
.
(2)证明:由已知平面
,
∴平面
.
又平面
,∴
.
∵四边形为正方形,∴
,
又,∴
平面
,
在中,∵
分别为
的中点,
∴,∴
平面
.
又平面
,∴平面
平面
.
(3)解:∵平面
,四边形
为正方形,不妨设
,则
.
∵平面
,且
,
∴即为点
到平面
的距离,
∴.
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