题目内容
【题目】已知=(sinx,cosx),
=(cosφ,sinφ)(|φ|<
).函数
f(x)= 且f(
-x)=f(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)的图象,若g(x)+1≤ax+cosx在x∈[0,
]上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(x+),
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)利用向量的坐标运算得到,再由f(
-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=
对称,所以
+φ=
+kπ,进而得到φ=
,利用三角函数的性质求解单调区间即可;
(2)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)= sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,
]上恒成立,利用数形结合分别研究h(x)=sinx-cosx和φ(x)= ax—1即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵f(x)==sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ),
再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=
对称,
∴+φ=
+kπ,k∈Z,又|φ|<
,∴φ=
∴f(x)=sin(x+),
由2kπ-≤ x+
≤2kπ+
可得2kπ-
≤x≤ 2kπ+
,
∴函数的递增区间为[2kπ-,2kπ+
],k∈Z;
(Ⅱ)由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,]上恒成立.
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0,]上恒成立.
令h(x)=sinx-cosx=sin(x-
),x∈[0,
];
φ(x)= ax-1
如下图:h(x)的图象在φ(x)图象的下方,
则: a ≥kAB==
,故
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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