题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，
，点
在椭圆
上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线l与椭圆相交于
、
两点，与
轴相交于点
，与
轴的正半轴相交于点
，
为线段
的中点，若
为定值
，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.
【答案】（1）
；（2）直线l过定点
，
，理由见解析.
【解析】
（1）设点
的坐标为
.由
，可得
，
，故椭圆
的标准方程为
，把点
代入，求出
，即得椭圆的标准方程；
（2）由题意可设直线
的方程为
，
，则
.由
，消去
，韦达定理可得
.由
，可得
为定值，故
，即求
，即得直线l过定点.
（1）设点的坐标为.
由
，
，
，，可得，.
椭圆的标准方程为，
点在椭圆上，
，
，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
设，则.
由，消去，整理可得
，
则
，
.
由
，
可得
.
，
，
，
.
，
，
，
若
为定值，则必有，
解得
，
，
，
.
故直线 过定点，.
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