题目内容
【题目】如图所示，某区有一块空地
，其中
，
，
.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖
，其中
都在边
上，且
，挖出的泥土堆放在
地带上形成假山，剩下的
地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在
的周围安装防护网.
（1）当
时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的
倍，试确定
的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当且仅当
时，
的面积取最小值为
【解析】
（1）根据题意可得
，在
中，利用余弦定理求出
，从而可得
，即
，进而可得
为正三角形，即求解.
（2）设
，利用三角形的面积公式
，在中，利用正弦定理可得
，从而
，即
，即求解.
（3）设，由（2）知，在
中，利用正弦定理可得
，利用三角形的面积公式可得
，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.
（1）
在
中，
，
，
，
在中，
，
由余弦定理，得，
，即，
，
为正三角形，所以的周长为
，
即防护网的总长度为.
（2）设，
，
，即，
在中，由
，得，
从而，即，由
，
得
，
，即
.
（3）设，由（2）知，
又在中，由
，得，
，
当且仅当
，即时，
的面积取最小值为.
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