Question

【题目】已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积最大时，其外接球的表面积为（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作出图形，由平面CAB与平面SAB垂直且CA＝CB时，三棱S﹣ABC的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O，利用几何关系计算出球O的半径，然后利用球体表面积公式可得出答案．

由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB时，三棱锥S﹣ABC体积达到最大，如图所示，

则点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．

∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．

在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，

延长CE交AB于点F，则F为AB的中点，所以点D在直线SF上，

∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，

又∵OE＝DFSFAB，

∴OA．

∴S球表面积＝4πR2＝4π×（ ）2．

故选：B．