题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,两焦点分别为
,右顶点为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与双曲线
的左支有两个交点,与椭圆
交于
两点,与圆
交于
两点,若
的面积为
,
,求正数
的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知,可得,又∵
,即可得解.
(Ⅱ)由可得
,
结合直线
与双曲线
的左支有两个交点,∴必有
. ∴
.可得
.
试题解析:(Ⅰ)由已知,不妨设,
,
∴,即
,
又∵, ∴
,∴椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)依题设,如图,直线的斜率存在,设
,
,
由
得
,
即
,
,
∴,
点到直线
的距离为
,
∴,
整理得,解得
或
,
又由直线与圆相交,有
,解得
,
依题设,直线与双曲线
的左支有两个交点,∴必有
. ∴
.
此时,
,
∴正数.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
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