题目内容
【题目】如图1,在矩形ABCD中, ,点
分别在边
上,且
,
交
于点
.现将
沿
折起,使得平面
平面
,得到图2.
(Ⅰ)在图2中,求证: ;
(Ⅱ)若点是线段
上的一动点,问点
在什么位置时,二面角
的余弦值为
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)先证明 ,再证明
,证明
平面
,从而可得
;
(2)建立直角坐标系,设,求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角
的余弦值为
,即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)∵在矩形中,
,
,
∴, ∴
即
.
∴在图2中, ,
.
又∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
, ∴
,
依题意, ∥
且
,∴四边形
为平行四边形.
∴∥
, ∴
, 又∵
,
∴平面
, 又∵
平面
, ∴
.
(Ⅱ)如图1,在中,
,
,
∵∥
,
,∴
.
如图,以点
为原点建立平面直角坐标系,则
,
,
,
,
∴,
,
,
∵,∴
平面
,
∴为平面
的法向量.
设,则
,
设为平面
的法向量,则
即
,可取
,
依题意,有,
整理得,即
,∴
,
∴当点在线段
的四等分点且
时,满足题意.
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