Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数f（x）的图像，并根据图像写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数为偶函数，故图像关于y轴对称，补出完整函数图像如图：

所以f（x）的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0时，f（x）=x2﹣2x，

故f（x）的解析式为

值域为{y|y≥﹣1}

【解析】（1）因为函数为偶函数，故图像关于y轴对称，由此补出完整函数f（x）的图像即可，再由图像直接可写出f（x）的增区间．（2）可由图像利用待定系数法求出x＞0时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．
【考点精析】掌握函数的值域和函数的单调性是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．