题目内容
(本小题满分12分)
己知三棱
柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知
(1)求证：
平面
；
(2)求点C到平面
的距离；
(3)求二面角
余弦值的大小．
己知三棱
柱，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，，又知(1)求证：
平面；(2)求点C到平面
的距离；(3)求二面角
余弦值的大小．（1）略（2）
（3）
（3）解法一
（1）
得
，因为
底
，所以
，
，所以
面
，所以
……3分
因为
，
，所以
底
……1分
（2）由（1）得
，所以
是菱形，……1分
所以
，
，……1分
由
，得 ……2分
（3）设
，作
于
，连
，由（1）所以
，所以
为二面角平面角，……2分
在
中
，所以
，所以二面角余弦 ……2分
解法二
（1）如图，取
的中点
，则
，因为
，所以
，又
平面
，以
为
轴建立空间坐标系，则
，
，
，
，
， ……1分
，
，
， ……1分
由
，知
， ……1分
又
，从而
平面
；
……1分
（2）由
，得
……1分
设平面的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
……2分
所以点
到平面的距离
……1分
（3）再设平面的法向量为
，
，，……1分
所以
，设，则
， 
……2分
故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为
……1分
（1）
得，因为底，所以，，所以面，所以 ……3分因为
，，所以底 ……1分（2）由（1）得
，所以是菱形，……1分所以
，，……1分由
，得 ……2分（3）设
，作于，连，由（1）所以，所以为二面角平面角，……2分在
中，所以，所以二面角余弦 ……2分解法二
（1）如图，取
的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，， ……1分，，， ……1分由
，知， ……1分又
，从而平面； ……1分（2）由
，得 ……1分设平面
的法向量为，，，所以，设，则 ……2分所以点
到平面的距离 ……1分（3）再设平面
的法向量为，，，……1分所以
，设，则， ……2分故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为 ……1分
练习册系列答案
相关题目
平面BCD；
，
，
．求证：
,正视图是边长为2的正方形，
的球的内接三棱柱
的底面是等腰直角三角形，
底面
，
，则此三棱柱的体积为 .
的菱形，则该棱柱的体积等于_____________．