Question

18．已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为1．
（Ⅰ）求整数m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c=m，求$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）通过解|2x-m|≤1可得$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，利用其整数解有且仅有一个值为1即得结论；
（II）通过2a+2b+2c=m得a+b+c=1．利用基本不等式的性质可得$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2c，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，即可得出结论．

解答 解：（I）∵|2x-m|≤1，
∴-1≤2x-m≤1，
解得$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，
由于整数解有且仅有一个值为1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{m-1}{2}≤1}\\{1≤\frac{m+1}{2}＜2}\end{array}\right.$，
∴1＜m＜3．
故整数m的值为2； 
（II）由2a+2b+2c=m，得a+b+c=1．
∵$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2c，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（a+b+c）≥2（a+b+c），
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1，当且仅当a=b=c时取等号，
故$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$的最小值为1．

点评 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．