题目内容

18.已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为1.
(Ⅰ)求整数m的值;
(Ⅱ)已知a,b,c均为正数,若2a+2b+2c=m,求$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$的最小值.

分析 (I)通过解|2x-m|≤1可得$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$,利用其整数解有且仅有一个值为1即得结论;
(II)通过2a+2b+2c=m得a+b+c=1.利用基本不等式的性质可得$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a,$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2c,$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c,即可得出结论.

解答 解:(I)∵|2x-m|≤1,
∴-1≤2x-m≤1,
解得$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$,
由于整数解有且仅有一个值为1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0<\frac{m-1}{2}≤1}\\{1≤\frac{m+1}{2}<2}\end{array}\right.$,
∴1<m<3.
故整数m的值为2; 
(II)由2a+2b+2c=m,得a+b+c=1.
∵$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a,$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2c,$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c,
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+(a+b+c)≥2(a+b+c),
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1,当且仅当a=b=c时取等号,
故$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$的最小值为1.

点评 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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