题目内容

9.在等差数列{an}中,a1=5,d=-1.
(1)求前n项和Sn的最大值及n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

分析 (1)由已知写出等差数列的通项,由通项大于等于0求得n的范围,可知等差数列的前5项大于0,第6项等于0,求出S5即为Sn的最大值;
(2)对n分类去绝对值求得|a1|+|a2|+…+|an|的前n项和Tn

解答 解:(1)在等差数列{an}中,由a1=5,d=-1,得an=5-1×(n-1)=6-n,
由an=6-n≥0,解得:n≤6,
∴当n=5或n=6时,前n项和Sn的值最大,等于$5×5+\frac{5×4×(-1)}{2}=15$;
(2)当n≤6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=5n+$\frac{n(n-1)×(-1)}{2}$=$-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}$;
当n>6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-a7-a8-…-an
=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+an)=$2×15-(-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2})$=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30$.
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2},n≤6}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30,n>6}\end{array}\right.$.

点评 本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和,体现了分类讨论的数学思想方法,属中档题.

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